Equação da circunferência

Mova os pontos A e/ou P, e observe:

Função contínua

Uma função é contínua num ponto a do seu domínio se nesse ponto ela não dá "saltos" nem apresenta "furo".
Exemplos:
A função f é contínua no ponto x = a.

A função g é descontínua no ponto x = a. O gráfico dela dá um "salto" nesse ponto.

A função h é descontínua no ponto x =a . Seu gráfico apresenta um "furo" nesse ponto, ou seja, ela não esta definida nesse ponto.

Propriedades dos limites

1ª Propriedade:
     O limite da soma é igual à soma dos limites (quando existirem). Ou seja, se existirem os limites
lim f(x) = L1 e lim g(x) = L2, então:
 x->a             x->a

                      lim [f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) =  L1 + L2
                                   x->a                           x->a             x->a

   
Exemplo:
    lim (x + 3) = lim x + lim 3 = 2 + 3 = 5
    x->2            x->2    x->2


2ª Propriedade
    O limite do produto é igual ao produto dos limites ( quando existirem). Ou seja, se existirem os limites
lim f(x) =L1   e lim g(x) =L2, então:
x->a                x->a

                         lim [f(x) . g(x) = lim f(x) . lim g(x) =  L1 . L2
                                       x->a                           x->a             x->a

Exemplo:
      lim (5x) = lim 5 . lim x = 5 . lim x = 5 . 3 = 15
      x->3        x->3                   x->3

Consequência:
Limite da diferença
     O limite da diferença é igual à diferença dos limites (quando existirem).
lim [f(x) - g(x)] = lim [f(x) + (-1)g(x)] = lim f(x) + (-1)g(x) = lim f(x) + (-1) . lim g(x) = lim f(x) - lim(g(x)
x->a                  x->a                                                           x->a                x->a         x->a       x->a    
     
3ª Propriedade:
     O limite do quociente é igual ao quociente dos limites (quando existirem e quando o limite do divisor for diferente de 0). Ou seja, se existirem
lim f(x) = L1 e lim g(x) = L2
x->a                       x->a 
com L2  diferente de 0, então:
 lim f(x) / g(x) = L1 / L2
 x->a

Exemplo:
 

Desigualdade triangular

     Uma condição de existência de um triângulo é que a soma das medidas de dois  lados quaisquer tem de ser maior que a medida do outro lado. Assim, dado um triângulo de lados a, b e c, ele deve obedecer a uma das seguintes condições:
                         a + b > c           a + c > b           b + c > a
Essa propriedade é chamada desigualdade triangular.

Utilizando a animação abaixo, tente combinar os segmentos três a três de modo a formar triângulos.
Que triângulos foi possível formar? (Você pode mover os pontos e os segmentos!).

Relações entre Álgebra eGeometria

Linguagem algébrica para expressar relações entre medidas

Observe os segmentos e suas relações.

1) Nesse esquema, podemos estabelecer as seguintes relações de desigualdade:
                     a > b
                     a > 3
E as igualdades:
                     a = b + 3
                     b = a - 3
                     a - b = 3

2) Esse esquema sugere as seguintes relações entre as medidas dos segmentos, representadas por letras:

           x = y + z

           y = x - z

           z = x - y                

3) Neste esquema  podemos estabelecer que c = d + 5 + d.

Esse esquema sugere as desigualdades:

           c > d

           c > 5

           c > 2d

Além da igualdade: c = 2d + 5

4) O segmento maior mede 5, que equivale aos segmentos A + 2 e B + C. Assim:

                     A + 2 = 5

                     B + C = 5

Se A + 2= 5, então A mede 3 (A=3)

Como A é maior que B (A>B) e A = 3, podemos concluir que B < 3.

O segmento C é maior do que 2 (C>2) e C = 5 - B.

5) Esse esquema sugere as desigualdades:

                        x < 4

                        y < 5

E a igualdade: x + 5 = 4 + y

Completamento de quadrados

Método geométrico
     As equações do 2º grau já eram resolvidas pelos babilônios (1800 a.C.), os quais usavam métodos de completar quadrados associados a tábuas de quadrados. A seguir um estudo desse procedimento.

Resolva a equação pelo completamento de quadrados

6x² – 7x + 2 = 0 → como a=6, dividimos todos os termos por 6.

6x² / 6 – 7/6x + 2/6 = 0/6

x² – 7/6x + 1/3 = 0

x² – 6/6x = - 1/3

Devemos encontrar um número que, somado aos dois membros, torne a expressão do primeiro membro um trinômio quadrado perfeito.

Para isso, dividimos a fração 7/6 por 2:

7/6 : 2= 7/12, que será o terceiro termo elevado ao quadrado para obtermos o trinômio quadrado perfeito:

x² – 7/6x + (7/12)² = (7/12)² – 1/3

(x – 7/12)² = 1/144

x – 7/12 = +/- √1/144

x – 7/12 = +/- 1/12

Desta forma, obtemos:

x₁ = 2/3

x₂ = 1/2